Reprezentați numărul 1233 ca o fracție periodică. Întocmirea unui sistem de ecuații

Pentru a scrie un număr rațional m/n sub forma zecimal, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, câtul este scris ca o fracție zecimală finită sau infinită.

Scrieți acest număr ca o fracție zecimală.

Soluţie. Împărțiți numărătorul fiecărei fracții într-o coloană la numitorul ei: A)împărțiți 6 la 25; b)împărțiți 2 la 3; V)împărțiți 1 la 2 și apoi adăugați fracția rezultată la unu - partea întreagă a acestui număr mixt.

Fracții ordinare ireductibile ai căror numitori nu conțin alți factori primi decât 2 Și 5 , sunt scrise ca o fracție zecimală finală.

ÎN exemplu 1 când A) numitorul 25=5·5; când V) numitorul este 2, deci obținem zecimale finale 0,24 și 1,5. Când b) numitorul este 3, deci rezultatul nu poate fi scris ca o zecimală finită.

Este posibil, fără împărțire lungă, să se transforme într-o fracție zecimală o astfel de fracție obișnuită, al cărei numitor nu conține alți divizori decât 2 și 5? Să ne dăm seama! Ce fracție se numește zecimală și se scrie fără bară de fracții? Răspuns: fracția cu numitorul 10; 100; 1000 etc. Și fiecare dintre aceste numere este un produs egal număr de doi și cinci. De fapt: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 etc.

În consecință, numitorul unei fracții ordinare ireductibile va trebui reprezentat ca produsul dintre „doi” și „cinci”, apoi înmulțit cu 2 și (sau) 5, astfel încât „doi” și „cinci” să devină egali. Atunci numitorul fracției va fi egal cu 10 sau 100 sau 1000 etc. Pentru a ne asigura că valoarea fracției nu se modifică, înmulțim numărătorul fracției cu același număr cu care am înmulțit numitorul.

Exprimați următoarele fracții comune sub formă de zecimale:

Soluţie. Fiecare dintre aceste fracții este ireductibilă. Să factorăm numitorul fiecărei fracții în factori primi.

20=2·2·5. Concluzie: lipsește un „A”.

8=2·2·2. Concluzie: lipsesc trei „A”.

25=5·5. Concluzie: lipsesc doi „doi”.

Cometariu.În practică, adesea nu folosesc factorizarea numitorului, ci pur și simplu pun întrebarea: cu cât trebuie înmulțit numitorul, astfel încât rezultatul să fie unul cu zerouri (10 sau 100 sau 1000 etc.). Și apoi numărătorul este înmulțit cu același număr.

Deci, în caz A)(exemplul 2) din numărul 20 puteți obține 100 înmulțind cu 5, prin urmare, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 5.

Când b)(exemplul 2) din numărul 8 nu se va obține numărul 100, dar numărul 1000 se obține prin înmulțirea cu 125. Atât numărătorul (3) cât și numitorul (8) al fracției se înmulțesc cu 125.

Când V)(exemplul 2) de la 25 obțineți 100 dacă înmulțiți cu 4. Aceasta înseamnă că numărătorul 8 trebuie înmulțit cu 4.

Se numește o fracție zecimală infinită în care una sau mai multe cifre se repetă invariabil în aceeași succesiune periodic ca zecimală. Setul de cifre repetate se numește perioada acestei fracții. Pentru concizie, perioada unei fracții se scrie o singură dată, cuprinsă între paranteze.

Când b)(exemplul 1) există o singură cifră care se repetă și este egală cu 6. Prin urmare, rezultatul nostru 0,66... ​​​​va fi scris astfel: 0,(6) . S-au citit: zero punct, șase în punct.

Dacă există una sau mai multe cifre care nu se repetă între punctul zecimal și prima perioadă, atunci o astfel de fracție periodică se numește fracție periodică mixtă.

Ireductibil fracție comună, al cărui numitor impreuna cu altii multiplicatorii conține un multiplicator 2 sau 5 , devine amestecat fracție periodică.

Scrieți numerele ca fracție zecimală:

Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție zecimală periodică infinită.

Scrie-l ca infinit fracție periodică numere.

Conversia unei fracții comune într-o zecimală înseamnă găsirea unei fracții zecimale care ar fi egală cu fracția comună dată. Când convertim fracții obișnuite în zecimale, vom întâlni două cazuri:

1) când fracțiile obișnuite pot fi convertite în zecimale exact;

2) când fracțiile obișnuite pot fi convertite numai în zecimale aproximativ. Să luăm în considerare aceste cazuri secvenţial.

1. Cum se transformă o fracție ireductibilă obișnuită într-o zecimală sau, cu alte cuvinte, cum se înlocuiește o fracție obișnuită cu o zecimală egală cu aceasta?

În cazul în care fracțiile obișnuite pot fi exact convertit în zecimal, există doua feluri un astfel de tratament.

Să ne amintim cum să înlocuim o fracție cu alta care este egală cu prima sau cum să trecem de la o fracție la alta fără a modifica valoarea primei. Am făcut acest lucru când am redus fracțiile la un numitor comun (§86). Când reducem fracțiile la un numitor comun, procedăm astfel: găsim numitorul comun pentru aceste fracții, calculăm un factor suplimentar pentru fiecare fracție și apoi înmulțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu acest factor.

După ce am observat acest lucru, să luăm fracția ireductibilă 3/20 și să încercăm să o transformăm într-o zecimală. Numitorul acestei fracții este 20, dar trebuie să îl aduceți la un alt numitor, care ar fi reprezentat de unul cu zerouri. Vom căuta cel mai mic numitor al lui unu urmat de zerouri.

Prima cale conversia unei fracții în zecimală se bazează pe descompunerea numitorului în factori primi.

Trebuie să aflați cu ce număr ar trebui să înmulțiți 20, astfel încât produsul să fie exprimat ca unu urmat de zerouri. Pentru a afla, mai întâi trebuie să vă amintiți în ce factori primi sunt descompuse numerele reprezentate de unu și zerouri. Acestea sunt descompunerea:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Vedem că numărul reprezentat de unu cu zerouri este descompus doar în doi și cinci și nu există alți factori în expansiune. În plus, doi și cinci sunt incluse în expansiune în același număr. Și, în sfârșit, numărul acelor și altor factori separat este egal cu numărul de zerouri după cel din imaginea unui număr dat.

Acum să vedem cum 20 este descompus în factori primi: 20 = 2 2 5. Din aceasta este clar că în descompunerea numărului 20 există doi doi și unul cinci. Aceasta înseamnă că dacă adăugăm unu cinci acestor factori, vom obține un număr reprezentat de unu cu zerouri. Cu alte cuvinte, pentru ca numitorul să aibă un număr reprezentat de unul cu zerouri în loc de 20, trebuie să înmulțiți 20 cu 5 și, pentru ca valoarea fracției să nu se schimbe, trebuie să-i înmulțiți numărătorul cu 5. , adică

Astfel, pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, trebuie să descompuneți numitorul acestei fracții ordinare în factori primi și apoi să egalizați numărul de doi și cinci din ea, introducând în ea (și, desigur, în numărător ) factorii lipsă din numărul cerut.

Să aplicăm această concluzie unor fracții.

Convertiți 3/50 într-o zecimală. Numitorul acestei fracții este extins după cum urmează:

Aceasta înseamnă că îi lipsește un deuce. Să-l adăugăm:

Convertiți 7/40 într-o zecimală.

Numitorul acestei fracții se descompune astfel: 40 = 2 2 2 5, adică îi lipsesc două cinci. Să le introducem în numărător și numitor ca factori:

Din ceea ce s-a spus, nu este greu de concluzionat care fracții obișnuite se convertesc exact în zecimale. Este destul de evident că o fracție ordinară ireductibilă, al cărei numitor nu conține alți factori primi, alții decât 2 și 5, se transformă exact într-o zecimală. O fracție zecimală, care se obține prin inversarea unei fracții obișnuite, va avea atâtea zecimale câte ori numitorul fracției ordinare după reducerea acesteia include factorul predominant numeric 2 sau 5.

Dacă luăm fracția 9/40, atunci, în primul rând, se va transforma într-o zecimală, deoarece numitorul ei include factorii 2 2 2 5, iar în al doilea rând, fracția zecimală rezultată va avea 3 zecimale, deoarece factorul dominant numeric 2 intră în expansiune de trei ori. Într-adevăr:

A doua cale(prin împărțirea numărătorului la numitor).

Să presupunem că doriți să convertiți 3/4 într-o fracție zecimală. Știm că 3/4 este câtul lui 3 împărțit la 4. Putem găsi acest coeficient împărțind 3 la 4. Să facem asta:

Astfel, 3 / 4 = 0,75.

Un alt exemplu: convertiți 5/8 într-o fracție zecimală.

Deci 5 / 8 = 0,625.

Deci, pentru a converti o fracție într-o zecimală, trebuie doar să împărțiți numărătorul fracției la numitorul său.

2. Să luăm acum în considerare al doilea dintre cazurile indicate la începutul paragrafului, adică cazul în care o fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o zecimală exactă.

O fracție ireductibilă obișnuită al cărei numitor conține alți factori primi, alții decât 2 și 5, nu poate fi convertită exact într-o zecimală. De fapt, de exemplu, fracția 8/15 nu poate fi convertită într-o zecimală, deoarece numitorul său 15 este descompus în doi factori: 3 și 5.

Nu putem elimina triplul de la numitor și nu putem selecta un număr întreg astfel încât, după înmulțirea numitorului dat cu acesta, produsul să fie exprimat ca unu urmat de zerouri.

În astfel de cazuri, putem vorbi doar despre apropiere fracții obișnuite până la zecimale.

Cum se face? Acest lucru se face prin împărțirea numărătorului unei fracții comune la numitor, adică în acest caz, se folosește a doua metodă de conversie a unei fracții comune într-o zecimală. Aceasta înseamnă că această metodă este utilizată atât pentru manipulare precisă, cât și pentru o manipulare aproximativă.

Dacă o fracție este convertită exact într-o zecimală, atunci împărțirea produce o fracție zecimală finală.

Dacă o fracție obișnuită nu se transformă într-o zecimală exactă, atunci împărțirea produce o fracție zecimală infinită.

Deoarece nu putem efectua un proces de împărțire fără sfârșit, trebuie să oprim diviziunea la o zecimală, adică să facem o împărțire aproximativă. Putem, de exemplu, să nu mai împărțim la prima zecimală, adică să ne limităm la zecimi; dacă este necesar, ne putem opri la a doua zecimală, obținând sutimi etc. În aceste cazuri, spunem că rotunjim o fracție zecimală infinită. Rotunjirea se face cu acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.

§ 115. Conceptul de fracție periodică.

O fracție zecimală perpetuă în care una sau mai multe cifre se repetă invariabil în aceeași succesiune se numește fracție zecimală periodică. De exemplu:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Se numește un set de numere care se repetă perioadă această fracție. Perioada primei dintre fracțiile scrise mai sus este 3, perioada celei de-a doua fracții este 12, perioada celei de-a treia fracții este 234. Aceasta înseamnă că perioada poate consta din mai multe cifre - una, două, trei etc. Primul set de cifre repetate se numește prima perioadă, al doilea totalitatea - a doua perioadă etc., adică.

Fracțiile periodice pot fi pure sau mixte. O fracție periodică se numește pură dacă perioada sa începe imediat după virgulă. Aceasta înseamnă că fracțiile periodice scrise mai sus vor fi pure. Dimpotrivă, o fracție periodică se numește mixtă dacă are una sau mai multe cifre care nu se repetă între virgulă zecimală și prima perioadă, de exemplu:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Pentru a scurta litera, puteți scrie numerele punctului o dată între paranteze și nu puneți elipse după paranteze, adică în loc de 0,33... puteți scrie 0,(3); în loc de 2,515151... se poate scrie 2,(51); în loc de 0,2333... se poate scrie 0,2(3); în loc de 0,8333... poți scrie 0,8(3).

Fracțiile periodice se citesc astfel:

0,(3) - 0 numere întregi, 3 în perioada.

7,2(3) - 7 numere întregi, 2 înaintea punctului, 3 în perioada.

5.00(17) - 5 numere întregi, două zerouri înaintea perioadei, 17 în perioada.

Cum apar fracțiile periodice? Am văzut deja că atunci când convertiți fracții în zecimale, pot exista două cazuri.

in primul rand, numitorul ordinarului fracție ireductibilă nu conține alți multiplicatori decât 2 și 5; în acest caz, fracția obișnuită devine o zecimală finală.

În al doilea rând, numitorul unei fracții ireductibile obișnuite conține orice factori primi, alții decât 2 și 5; în acest caz, fracția ordinară nu se transformă într-o zecimală finală. În acest ultim caz, când încercați să convertiți o fracție la o zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor, rezultatul este fracție infinită, care va fi întotdeauna periodic.

Pentru a vedea asta, să ne uităm la un exemplu. Să încercăm să transformăm fracția 18/7 într-o zecimală.

Desigur, știm dinainte că o fracție cu un astfel de numitor nu poate fi convertită într-o zecimală finală și vorbim doar de o conversie aproximativă. Împărțiți numărătorul 18 la numitorul 7.

Avem opt zecimale în coeficient. Nu este nevoie să continuăm împărțirea, pentru că oricum nu se va termina. Dar din aceasta este clar că împărțirea poate fi continuată la nesfârșit și astfel se obține numere noi în coeficient. Aceste noi numere vor apărea pentru că vom avea întotdeauna resturi; dar niciun rest nu poate fi mai mare decât divizorul, care pentru noi este 7.

Sa vedem ce solduri am avut: 4; 5; 1; 3; 2; b, adică acestea erau numere mai mici decât 7. Evident, nu pot fi mai mult de șase, iar cu continuarea împărțirii vor trebui repetate, iar după ele se vor repeta cifrele coeficientului. Exemplul de mai sus confirmă această idee: zecimale din coeficient sunt în această ordine: 571428, iar după aceea au apărut din nou numerele 57 Aceasta înseamnă că prima perioadă s-a încheiat și începe a doua.

Prin urmare, o fracție zecimală infinită obținută prin inversarea unei fracții comune va fi întotdeauna periodică.

Dacă la rezolvarea unei probleme se întâlnește o fracție periodică, atunci aceasta este luată cu precizia cerută de condițiile problemei (la a zecea, la a sutimea, la miimea etc.).

§ 116. Acțiuni comune cu fracții ordinare și zecimale.

Când rezolvăm diverse probleme, vom întâlni cazuri în care problema include atât fracții ordinare, cât și zecimale.

În aceste cazuri, puteți merge în moduri diferite.

1. Convertiți toate fracțiile în zecimale. Acest lucru este convenabil deoarece calculele cu fracții zecimale sunt mai ușoare decât cu fracțiile obișnuite. De exemplu,

Să convertim fracțiile 3/4 și 1 1/5 în zecimale:

2. Convertiți toate fracțiile în fracții obișnuite. Acest lucru se face cel mai adesea în cazurile în care există fracții obișnuite care nu se transformă în zecimale finale.

De exemplu,

Să convertim fracțiile zecimale în fracții obișnuite:

3. Calculele sunt efectuate fără a converti unele fracții în altele.

Acest lucru este util mai ales atunci când exemplul implică doar înmulțirea și împărțirea. De exemplu,

Să rescriem exemplul astfel:

4. În unele cazuri converti toate fracțiile în zecimale(chiar și cele care se transformă în periodice) și găsesc un rezultat aproximativ. De exemplu,

Să convertim 2/3 într-o fracție zecimală, limitându-ne la miimi.

Fracție periodică

o fracție zecimală infinită în care, pornind de la un anumit punct, există doar un anumit grup de cifre repetat periodic. De exemplu, 1,3181818...; Pe scurt, această fracție se scrie astfel: 1.3(18), adică pun perioada între paranteze (și spun: „18 în perioada”). P. se numește pură dacă perioada începe imediat după virgulă, de exemplu 2(71) = 2,7171..., și mixtă dacă după virgulă există numere care preced perioada, de exemplu 1,3(18). Rolul fracțiilor zecimale în aritmetică se datorează faptului că atunci când numerele raționale, adică fracțiile obișnuite (simple), sunt reprezentate prin fracții zecimale, se obțin întotdeauna fie fracții finite, fie periodice. Mai exact: o fracție zecimală finală se obține atunci când numitorul unei fracții simple ireductibile nu conține alți factori primi alții decât 2 și 5; în toate celelalte cazuri, rezultatul este o fracție P. și, în plus, este pură dacă numitorul unei fracții ireductibile date nu conține deloc factorii 2 și 5 și amestecat dacă cel puțin unul dintre acești factori este conținut. în numitor. Orice P.D. poate fi convertit în fracție simplă(adică este egal cu unii Numar rational). O fracție pură este egală cu o fracție simplă, al cărei numărător este perioada, iar numitorul este reprezentat de numărul 9, scris de câte ori sunt cifre în perioadă; La transformarea unei fracții mixte într-o fracție simplă, numărătorul este diferența dintre numărul reprezentat de numerele care precedă a doua perioadă și numărul reprezentat de numerele care preced prima perioadă; Pentru a compune numitorul, trebuie să scrieți numărul 9 de câte ori există numere în perioadă și să adăugați atâtea zerouri la dreapta câte numere sunt înaintea perioadei. Aceste reguli presupun că P. dat este corect, adică nu conține unități întregi; în caz contrar, întreaga parte primește o atenție specială.

Sunt cunoscute și regulile de determinare a lungimii perioadei unei fracții corespunzătoare unei fracții ordinare date. De exemplu, pentru o fracție a/p, Unde R - număr prim și 1 ≤ A ≤ p- 1, lungimea perioadei este un divizor R - 1. Deci, pentru aproximări cunoscute la un număr (vezi Pi) Perioadele 22/7 și 355/113 sunt egale cu 6 și, respectiv, 112.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Fracția periodică” în alte dicționare:

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit loc, se repetă periodic, de exemplu, un anumit grup de cifre (perioadă). 0,373737... fracție periodică pură sau 0,253737... fracție periodică mixtă... Dicţionar enciclopedic mare

Fracție, fracție infinită Dicționar de sinonime rusești. substantiv fracție periodică, număr de sinonime: 2 fracție infinită (2) ... Dicţionar de sinonime

O fracție zecimală în care o serie de cifre se repetă în aceeași ordine. De exemplu, 0,135135135... este un p.d a cărui perioadă este 135 și care este egală cu fracția simplă 135/999 = 5/37. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

O zecimală este o fracție cu numitorul 10n, unde n este un număr natural. Are o formă specială de notație: o parte întreagă în sistemul numeric zecimal, apoi o virgulă și apoi o parte fracțională în sistemul numeric zecimal și numărul de cifre ale părții fracționale ... Wikipedia

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit punct, se repetă periodic un anumit grup de cifre (perioadă); de exemplu, 0,373737... fracție periodică pură sau 0,253737... fracție periodică mixtă. * * * PERIODIC… … Dicţionar enciclopedic

O fracție zecimală nesfârșită în care, începând de la un anumit loc, definiția se repetă periodic. grup de cifre (punt); de exemplu, 0,373737... P. d. pur sau 0,253737... P. mixt. Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Vezi partea... Dicționar de sinonime rusești și expresii similare. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. fracție fleac, parte; praf, minge, făină, buckhot; număr fracționar Dicționar de sinonime ruse ... Dicţionar de sinonime

zecimală periodică- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez-rus de tehnologia informației. M.: Întreprinderea de stat TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN zecimal circulant zecimal recurent zecimalperiod zecimalperiodic zecimalperiodic zecimal ... Ghidul tehnic al traducătorului

Dacă un număr întreg a este împărțit la un alt întreg b, adică se caută un număr x care îndeplinește condiția bx = a, atunci pot apărea două cazuri: fie în seria numerelor întregi există un număr x care îndeplinește această condiție, fie acesta se dovedește,…… Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

O fracție al cărei numitor este o putere întreagă de 10. Fracțiile se scriu fără numitor, separând câte cifre din numărător la dreapta cu virgulă, câte zerouri sunt în numitor. De exemplu, într-o astfel de înregistrare, partea din stânga... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Deja inauntru școală primară elevii întâlnesc fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Nu poți uita acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte nu sunt complicate, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viata de zi cu ziîmpinge în mod constant oamenii să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata este formată din mai multe bucăți. Luați în considerare o situație în care țigla lui este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Poate fi împărțit cu ușurință în trei. Dar nu va fi posibil să oferi cinci persoane un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unei unități. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Ceea ce este în jos (dreapta) este numitorul.

În esență, slash-ul se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Ce fracții există?

În matematică există doar două tipuri: fracții ordinare și zecimale. Scolarii se intalnesc pentru prima data in școală primară, numindu-le pur și simplu „fracții”. Acesta din urmă se va învăța în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o linie. De exemplu, 4/7. O zecimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de numărul întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să înțeleagă clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca o fracție comună.

Ce subtipuri au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Printre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul său.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

Reductibil/ireductibil. Se poate dovedi a fi corect sau greșit. Un alt lucru important este dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci este necesar să împărțiți ambele părți ale fracției cu ele, adică să o reduceți.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite (neregulate). Mai mult, este mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite între ele. Adică conține trei linii fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subtipuri:

finit, adică unul a cărui parte fracțională este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere pe baza regulii - după cum aud, așa că scriu. Adică, trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o bară fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, trebuie să vă amintiți că este întotdeauna unul și mai multe zerouri. Trebuie să scrieți atâtea dintre acestea din urmă câte cifre sunt în partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă partea lor întreagă lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Tot ce rămâne este să notăm părțile fracționale. Primul număr va avea numitorul 10, al doilea va avea numitorul 100. Adică, exemplele date vor avea următoarele numere ca răspuns: 9/10, 5/100. Mai mult, se pare că acesta din urmă poate fi redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris ca 1/20.

Cum poți converti o fracție zecimală într-o fracție obișnuită dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. În ambele exemple, întreaga parte este citită și valoarea acesteia este scrisă. În primul caz este 5, în al doilea este 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Aceeași operațiune ar trebui să fie efectuată cu ei. Primul număr apare 23/100, al doilea - 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul arată așa fractii mixte: 5 23/100 si 13 27/25000.

Cum se transformă o fracție zecimală infinită într-o fracție obișnuită?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu va fi posibilă. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită într-o fracție finită sau periodică.

Singurul lucru pe care îl poți face cu o astfel de fracție este rotunjirea ei. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: convertirea în zecimală nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt convertite în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită ca fracție obișnuită?

În aceste numere, există întotdeauna una sau mai multe cifre după virgulă zecimală care se repetă. Ele sunt numite o perioadă. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” este în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționată începe cu câteva numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită ca fracție comună va fi diferită pentru cele două tipuri de numere indicate. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finite, acestea trebuie convertite: notați perioada la numărător, iar numitorul va fi numărul 9, repetat de câte ori numărul de cifre conține perioada.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să începeți imediat cu partea fracțională. Scrieți 5 ca numărător și 9 ca numitor, adică răspunsul va fi fracția 5/9.

Regula despre cum se scrie o fracție periodică zecimală obișnuită care este amestecată.

Uită-te la durata perioadei. Cam atat va avea numitorul.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate numerele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Deductibilă - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului conține o cifră. Deci va fi un zero. Există, de asemenea, un singur număr în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scădeți 5 din 58. Rezultă 53. De exemplu, ar trebui să scrieți răspunsul ca 53/90.

Cum se convertesc fracțiile în zecimale?

Cel mai varianta simpla se dovedește a fi un număr al cărui numitor conține numărul 10, 100 etc. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Trebuie doar să înmulțiți nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă este utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri posibile: o fracție zecimală finită sau periodică.

Operații cu fracții obișnuite

Adunare si scadere

Elevii se familiarizează cu ei mai devreme decât alții. Mai mult, la început fracțiile au aceiași numitori, apoi au alții diferiți. Reguli generale poate fi redus la un astfel de plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii specificați pentru ei.

Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtrahendul, atunci trebuie să aflăm înaintea noastră număr mixt sau o fracție adecvată.

În primul caz, trebuie să împrumutați unul din întreaga parte. Adaugă numitorul la numărătorul fracției. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea, este necesar să se aplice regula scăderii unui număr mai mare dintr-un număr mai mic. Adică din modulul subtraendului, scădeți modulul minuendului și, ca răspuns, puneți semnul „-”.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a le efectua, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru facilitează efectuarea acțiunilor. Dar încă vă cer să respectați regulile.

Când înmulțiți fracții, trebuie să vă uitați la numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă rezultatul este o fracție reductibilă, atunci trebuie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu fracția reciprocă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca și cu înmulțirea (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.



Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți converti oricând o zecimală într-o fracție. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adăugarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Adăugați numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracțiile astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru a înmulți, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, ignorând virgulele.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul din dreapta al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să transformați divizorul: faceți-l un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracțională a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o fracție zecimală la un număr natural.

Pune o virgulă în răspunsul tău în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.



Ce se întâmplă dacă un exemplu conține ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. În astfel de sarcini există două soluții posibile. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel optim.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă, la împărțirea sau traducerea, obțineți fracții finale. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

Al doilea mod: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică se dovedește a fi convenabilă dacă partea de după virgulă zecimală conține 1-2 cifre. Dacă sunt mai multe, s-ar putea să ajungeți la o fracție comună foarte mare, iar notația zecimală va face sarcina mai rapidă și mai ușor de calculat. Prin urmare, trebuie întotdeauna să evaluați cu atenție sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

Acasă » Accesorii » Reprezentați numărul 1233 ca o fracție periodică. Întocmirea unui sistem de ecuații