Сопряжение эвольвенты с окружностью впадин. Большая энциклопедия нефти и газа

Основная теорема зацепления

Основную теорему зацепления рассмотрим на примере двух зубчатых колес (рис. 2.35). Профили зубьев двух колёс, соприкасаются в точке К. Колёса вращаются вокруг точек и в направлениях указанных стрелками. Скорость точки К в системе первого колеса:

Они различны по величине и направлению.

Давление между двумя твёрдыми телами передаётся по общее нормали N-N, следовательно, непрерывная передача движения возможна только лишь в том случае, если проекции скоростей точек контакта обоих профилей на общую нормаль будут одинаковы по величине и направлению.

При будет происходить размыкание зацепления, чего допускать нельзя; при - происходит внедрение зуба одного колеса в зуб другого колеса другой (тем более нельзя допускать), следовательно, скорости должны быть равны

,

или учитывая (2.41) получим:

Из точек и опустим перпендикуляры и на общую нормаль N-N

следовательно, подставив в формулу (2.43) получим:

Соединим центры вращения профилей линей ; и точку пересечения с общей нормалью N-N обозначим Р.

Из подобия треугольников следует: , учитывая формулу (2.44) получим:

Это равенство выражает основную теорему зацепления: общая нормаль N-N к сопряжённый профилям, вращающимся относительно центров и , делит линию центров и на части обратно пропорциональные угловым скоростям этих профилей.

Итак: если точка Р неподвижна, то передаточное отношение звеньев будет постоянно. Точка Р называется полюсом зацепления. Она является мгновенным центром относительного вращения звеньев 1 и 2. Окружности с центрами и проходящие через полюс называются начальными. При работе колёс катятся одна по другой без скольжения. Следовательно, как вытекает из формулы (2.44), они представляют собой центроиды колёс.

Угол , составленный общей нормалью N–N к профилям зубьев (линией зацепления) и общей касательной к начальным окружностям называется углом зацепления (углом давления).

По теореме зацепления всегда можно проверить, являются ли два профиля находящихся в зацеплении зубьев сопряженными. Для этого проводим к ним общую нормаль и выясняем, проходит ли она через полюс зацепления. Требование сопряжённости профилей удовлетворяется, если профили являются эвольвентными, циклоидными и в некоторых других случаях. В эвольвентном зацеплении угол постоянный. В большинстве случаев угол .

Образование эвольвенты и её свойства

Эвольвентой круга называют кривую, которая описывает любую точку прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. При этом прямую обычно называют производящей, а окружность - основной .

Пусть производящая прямая (рис. 2.36) n – n показана в положении, когда она касается основной окружности в точке А и требуется построить эвольвенту, описываемую т. М. Делим отрезок AM на равные части и откладываем на дуги равные соответствующим частям отрезка AM: и так далее. Через полученные точки проводим касательные и откладываем на них отрезки, последовательно уменьшая длину каждого отрезка на одну часть. Соединяя концы отложенных отрезков, получаем эвольвенту. Уравнение эвольвенты получим из условия перекатывания производящей прямой по

Обозначим через острый угол между касательной к эвольвенте и радиус-вектором эвольвенты ОМ. Этот угол называется углом профиля. Угол, образованный начальным радиус-вектором эвольвенты и её текущим радиусом ОМ называется эвольвентным углом (). Тогда условие (2.45) принимает вид: или . Функция называется инвалютой и обозначается "inv", то есть уравнение может быть записано . Радиус-вектор эвольвенты находится из треугольника ОАМ

Эвольвента имеет две ветви (рис. 2.37): положительная ветвь получается при перекатывании прямой против хода часовой стрелки, отрицательная - при перекатывании по ходу часовой стрелки.

Основные свойства эвольвенты

1. Каждая ветвь эвольвенты вполне определяется радиусом основной окружности и начальной точкой .

2. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.

3. Нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной к основной окружности.

4. Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью .

Эвольвентное зацепление

Пусть профиль зуба звена 1 очерчен по эвольвенте , a профиль зуба звена 2 по эвольвенте . Поместим центры этих окружностей в точку и точку и приведём эвольвенты в соприкосновение в точке К.

Нормаль к эвольвенте в точке К должна быть касательной к , а нормаль - касательной к . В точке касания нормаль должна быть общей к обоим профилям и, следовательно, точка К лежит на общей касательной к основным окружностям. При вращении звеньев 1 и 2 точка касания эвольвент перемещается по отрезку АВ этой касательной, так как вне отрезка АВ эвольвенты не могут касаться, то есть иметь общую нормаль. Отсюда следует, что линия зацепления эвольвентных профилей совпадает с общей нормалью к ним и лежит на отрезке АВ общей касательной к основным окружностям. Точка Р – полюс зацепления занимает неизменное положение, следовательно центры в относительном движении представляют собой окружности с радиусами и соответственно. По свойству центроид начальные окружности при движении звеньев перекатываются без скольжения. Итак, при эвольвентном зацеплении передаточное отношение имеет постоянную величину

Знак (-) относится к внешнему зацеплению, знак (+) относится к внутреннему зацеплению.

Из треугольника и треугольника следует:

,

следовательно, отсюда можно сделать выводы:

1. При эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на величину передаточного отношения, вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При изменении межосевого расстояния изменятся лишь радиусы и угловые зацепления .

2. При эвольвентном зацеплении передаточное отношение, согласно основной теории имеет постоянную величину.

3. При внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряжёнными только в пределах отрезка АВ линии зацепления.

Линией зацепления (АВ) называется геометрическое место точек соприкасания профилей боковых поверхностей зубьев колес, принадлежащее неподвижному пространству. Точки и - сопряженные.

Точки, касающиеся друг друга на линии зацепления, называются сопряжёнными.

Точки А и В - теоретические границы зацепления, за этими точками зацепление допускать нельзя - наступит заклинивание передачи.

Основные размеры зубчатых колёс с эвольвентным профилем

Эвольвентные профили удовлетворяют условию синтеза зубчатого зацепления - получению заданного . Выполнение дополнительного условия синтеза зависит от размеров зубьев. Эти размеры удобно задавать в долях, какой - либо одной линейной величины. Выразим длину некоторой окружности, имеющей диаметр d через число зубьев Z.

где: Р - окружной шаг, то есть расстояние, измеренное по дуге окружности диаметром d между двумя соответствующими точками соседних зубьев.

Отсюда: или ,

где, m – отношение окружного шага к числу , называется модулем зуба. Модуль зуба выбирается из ряда рациональных чисел от 0,05 до 100.

Делительной окружностью называется окружность, для которой модуль имеет стандартную величину, она является базовой для определения размеров зубьев. Иногда начальные окружности и делительные окружности r совпадают, но при этом надо иметь в виду их принципиальное отличие. Делительная окружность - есть характеристика одного зубчатого колеса, а начальные окружности дают характеристику зацепления двух зубчатых колес, и диаметры этих окружностей зависят от межосевого расстояния.

Делительная окружность делит зуб на две части: головку и ножку. Делительной головкой зуба называется часть зуба расположенная между делительной окружностью r и окружностью вершин . Ножкой зуба называется часть зуба расположенная между делительной окружностью r и окружностью впадин .

Различают внешние и внутренние зубья. У внешних, окружность вершин находится снаружи окружности впадин, а у внутренних, внутри окружности впадин.

Высота головки зуба;

Высота ножки зуба.

Общая высота

Так как между окружностями вершин одного зуба и окружностями впадин другого зуба должен быть зазор называемый радиальным зазором (С).

Для нормальных колёс высоты зуба ; . Для укороченных зубьев: . Радиальный зазор .

Каждый зуб очерчен двумя симметрично расположенными профилями. Расстояние между этими профилями, измеренное по какой - либо окружности называется толщиной зуба. Толщина по делительной окружности обозначается S.

Способы нарезания зубчатых колёс

Применяются два основных способа нарезания зубчатых колес: копирование и обкатка (огибание). Существуют и другие способы, такие как отливка, накатка, при которой зубья образуются без дополнительной обработки, но они не обеспечивают высокую точность изготовления зубчатых колёс.

По способу копирования специальной дисковой (рис. 2.38) или пальцевой фрезой (б) прорезают впадины, вследствие чего впадина соответствует очертаниям инструмента. После того как очередная впадина прорезана и закончился холостой ход фрезы, заготовку поворачивают на угол:

;-угловой шаг.

Недостатки: метод малопроизводителен, низкая точность нарезания колёс, сложный инструмент, необходима большая номенклатура инструмента.

Рассмотрим контур зубьев рейки (2.40), который называется исходным, так как он служит основой для определения форм и расположения режущих кромок.

Профиль зуба режущего инструмента отличается от исходного профиля тем, что высота головки увеличена на , то есть на величину радиального зазора, так как головка зуба рейки вырезает ножку зуба в заготовке. Этот контур называют производящим.

Прямая (С-С) проходящая по середине общей высоты зуба называется средней прямой (иногда делительной);

(коэффициент зуба).

(При обкатке режущим инструментом, заготовке сообщается такое относительное движение, какое имели бы они в зацеплении.)

Существуют следующие разновидности метода обкатки.

Режущий инструмент выполняют в виде зубчатой рейки (рис. 2.39).

преимущество: простота инструмента и высокая точность изготовления зубчатых колес.

2. Режущий инструмент выполнен в виде зубчатого колеса, высота головки которого , который носит название долбяк (рис. 2.41).

преимущество: можно нарезать зубчатые колеса с внутренними и наружными зубьями.

3. Режущий инструмент выполнен в виде червячной фрезы, продольное сечение которой имеет вид зубчатой рейки

преимущество: непрерывность процесса, процесс более производителен.

недостаток: можно нарезать зубья только с внешним зацеплением.

Нулевые, положительные и отрицательные зубчатые колёса и передачи

Возможны три варианта расположения средней линии инструментальной рейки относительно делительной окружности колеса.

1. Средняя прямая производительного контура С-С касается делительной окружности заготовки (рис. 2.43 б). Средняя линия катится без скольжения по делительной окружности равной ширине впадине рейки по средней линии. . Это колесо называется колесом с равноделенным шагом.

2. Средняя линия С-С смещена (поднята) на величину , где Х - коэффициент смещения (рис. 2.43 а). По делительной окружности катится без скольжения начальная окружность Н-Н, отстоящая от средней прямой линии на . Толщина зуба по делительной окружности оказывается больше ширины впадины, что соответствует увеличению ширины впадины производящего контура начальной прямой Н-Н. Из рисунков следует:

Коэффициент смещения Х в этом случае считается положительным.

3. Средняя прямая С-С смещена к центру на величину Хm, при чем коэффициент смещения Х считается отрицательным (рис. 2.43в).

Толщина зуба по делительной окружности тоже определяется по формуле (2.46) и вследствие того, что , оказывается меньше, чем у колеса с равноделенным шагом.

5 Синтез механизмов

5.7 Эвольвентное зацепление

Подавляющее большинство зубчатых передач, применяемых в технике, имеет зубчатые колеса с эвольвентным профилем.

Эвольвента как кривая для формирования профиля зуба была предложена Л. Эйлером. Она обладает значительными преимуществами перед другими кривыми, применяемыми для этой цели, – удовлетворяет основному закону зацепления, обеспечивает постоянство передаточного отношения, нечувствительна к неточностям межосевого расстояния (что облегчает сборку), наиболее проста и технологична в изготовлении, легко стандартизируется (что особенно важно для такого распространенного вида механизмов как зубчатые передачи).

Эвольвента – это траектория движения точки, принадлежащей прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. Данная прямая называется производящей прямой , а окружность, по которой она перекатывается – основной окружностью (рисунок 38 а).

Рисунок 38

Эвольвента обладает следующими свойствами, которые используются в теории зацепления:

1. форма эвольвенты определяется радиусом основной окружности;
2. нормаль к эвольвенте в любой ее точке является касательной к основной окружности. Точка касания нормали с основной окружностью является центром кривизны эвольвенты в рассматриваемой точке;
3. эвольвенты одной и той же основной окружности являются эквидистантными (равноотстоящими друг от друга) кривыми.

Положение любой точки на эвольвенте может быть однозначно охарактеризовано диаметром окружности, на которой она расположена, а также характерными для эвольвенты углами: углом развернутости (обозначается ν ), углом профиля (α ), эвольвентным углом – inv α (рисунок 38 б). На рисунке 38 б показаны эти углы для произвольно выбранной на эвольвенте точки Y, поэтому они имеют соответствующий индекс:

• ν Y – угол развернутости эвольвенты до точки у;
• α Y – угол профиля в точке Y;
• inv α Y – эвольвентный угол в точке Y (на окружности диаметра dY).

То есть индекс показывает, на какой окружности находится рассматриваемая точка эвольвенты, поэтому для характерных окружностей используются индексы, приведенные выше.

Например: α a1 – угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на окружности вершин первого колеса;
invα – эвольвентный угол в точке эвольвенты, находящейся на делительной окружности колеса и т.д.

Рассмотрим свойства эвольвенты. Первое свойство имеет строгое математическое доказательство, однако в рамках данного короткого курса оно не приводится.

Так как при формировании эвольвенты производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то в данный момент времени она вращается вокруг точки N (N – мгновенный центр скоростей), описывая бесконечно малую дугу окружности, которая и определяет кривизну эвольвенты в данной точке. Т.е. отрезок NY – это радиус кривизны эвольвенты в точке Y (NY= ρ Y).

Но отрезок NY в точности равен дуге NY 0 (это та же дуга только вытянутая в прямую линию). Таким образом, имеем:

Чем больше радиус основной окружности, тем больше радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке (то есть форма эвольвенты действительно определяется величиной радиуса основной окружности).

Второе свойство также легко просматривается. Так как N – мгновенный центр скоростей, то скорость точки Y перпендикулярна радиусу NY. Но скорость точки, движущейся по криволинейной траектории, направлена по касательной к этой траектории – в данном случае по касательной к эвольвенте в точке Y.

Перпендикуляр к касательной – есть нормаль, поэтому прямая YN с одной стороны является нормалью к эвольвенте в точке Y , с другой стороны является касательной к основной окружности (как производящая прямая, перекатывающаяся по основной окружности).

То, что точка N является центром кривизны эвольвенты в точке Y, показано при рассмотрении первого свойства. Запишем некоторые зависимости, которые используются в дальнейшем при изучении геометрии эвольвентного зацепления (получаются из рассмотрения рисунка 38 б):

Третье свойство эвольвенты очевидно из рисунка 38а. Действительно, если на производящей прямой взять две точки (А и В), то они будут описывать две совершенно одинаковых эвольвенты, причем, как бы не перемещалась производящая прямая, расстояние между этими точками не изменяется (A i B i = Const). Т.е. действительно это эквидистантные (равноотстоящие друг от друга) кривые. Но, самое важное, что это расстояние A i B i равно расстоянию между этими эвольвентами, измеренному по дуге основной окружности:

Признаком того, что два криволинейных профиля касаются (а не пересекаются), является наличие у них в точке контакта общей нормали. В связи с этим контакт двух эвольвентных профилей происходит на общей касательной к основным окружностям N 1 N 2 (рисунок 39), которая одновременно будет являться общей нормалью к этим профилям в точке их касания в любой момент времени (на основании второго свойства эвольвенты).

Рисунок 39

Геометрическое место точек контакта профилей, которое они занимают в процессе работы пары зубьев, называется линией зацепления . Таким образом, в эвольвентной передаче линией зацепления является прямая N 1 N 2 (общая касательная к основным окружностям).

На рисунке 39 а показано зацепление двух эвольвентных профилей в разные моменты времени. В обоих положениях прямая N 1 N 2 является общей нормалью к этим касающимся профилям и проходит через полюс зацепления W (мгновенный центр относительного вращения).

Это, с одной стороны показывает, что эвольвентные профили удовлетворяют основному закону зацепления, с другой стороны обеспечивают постоянство передаточного отношения, т.к. полюс зацепления не меняет своего положения в процессе работы пары (отношение O 2 W/O 1 W остается постянным).

С изменением межосевого расстояния будет меняться только положение линии зацепления, но вся картина зацепления останется такой же, т.е. по-прежнему будет сохраняться основной закон зацепления, величина и постоянство передаточного отношения. Это очень важное свойство эвольвентного зацепления, т.к. позволяет вписывать передачу в разные межосевые расстояния, что особенно важно при проектировании коробок скоростей, планетарных и дифференциальных механизмов.

Передача оказывается малочувствительной к неточностям межосевого расстояния, что позволяет снизить требования к точности сборки.

Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям в полюсе называется углом зацепления . Угол зацепления, угол профиля на начальной окружности первого колеса и угол профиля на начальной окружности второго колеса равны между собой ( α w 1 = α w 2 = α w ) , поэтому все они обозначаются одинаково – α w (без числового индекса – см. рисунок 39 а).

Отрезок N 1 N 2 называется теоретической линией зацепления . На этом участке происходит нормальная работа двух неограниченных эвольвент. В реальной передаче эвольвенты ограничены («обрезаны») окружностями вершин, поэтому вся работа пары происходит на участке линии зацепления P 1 P 2 , заключенном между окружностями вершин (рисунок 39б).

Отрезок P 1 P 2 называется рабочей (активной) частью линии зацепления (иногда называют просто «рабочая линия зацепления», или «активная линия зацепления»). На рисунке 39б показано два положения одной и той же пары: в начале зацепления (зуб ведомого колеса работает своей вершиной, зуб ведущего колеса – нижней рабочей точкой профиля Р 1), и в конце зацепления (зуб ведущего колеса работает своей вершиной и в следующий момент выйдет из зацепления, зуб ведомого колеса работает своей нижней рабочей точкой профиля Р 2).

Примечание: здесь термин «нижняя» или «верхняя» точка относится к положению точек относительно основной окружности, независимо от того, как эти точки располагаются одна относительно другой в пространстве. Из двух рассматриваемых точек профиля «нижней» будет та, которая располагается ближе к основной окружности.

При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке также становится бесконечно большим, т.е. основная окружность и эвольвента превращаются в прямые линии. Эвольвентное зубчатое колесо превращается в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зуба.

Таким образом, рейка с прямолинейным профилем зуба представляет собой частный случай эвольвентного зубчатого колеса и обладает всеми его свойствами, т.е. может работать с любым эвольвентным колесом (при одном и том же модуле) без нарушения основного закона зацепления. При этом вращательное движение колеса преобразуется в поступательное движение рейки или поступательное движение рейки преобразуется во вращательное движение колеса с соблюдением постоянства передаточного отношения.

Т.к. зубчатая рейка с прямолинейным профилем зуба с одной стороны имеет простые формы и легко задать размеры ее элементов, с другой стороны представляет собой эвольвентное зубчатое колесо, то ее параметры положены в основу стандартизации эвольвентных зубчатых колес. Стандартная зубчатая рейка называется исходным контуром (рисунок 40а).

Рисунок 40

Имеется несколько стандартов на исходные контуры, учитывающие специфику некоторых видов передач (мелкомодульных, конических и т.д.). В основном используются параметры, определенные ГОСТ 13 755 – 81.

В соответствии с этим стандартом исходный контур имеет следующие параметры:

• α = 20 0 – угол профиля исходного контура (основной параметр, определяющий ряд эвольвент, используемых для зубчатых передач в соответствии с этим стандартом, поэтому часто в конструкторской практике говорят, что у нас в стране используется «двадцатиградусная» эвольвента);
• h a * = 1 – коэффициент высоты головки зуба;
• c*= 0,25 – коэффициент радиального зазора (по другим стандартам в зависимости от модуля и типа инструмента с* может быть равен 0,2; 0,3; 0,35);

Приведенные коэффициенты являются безразмерными величинами. Абсолютное значение какого-либо размера получается умножением соответствующего коэффициента на модуль (Например: высота головки зуба h a =h a * ⋅ m; величина радиального зазора c = c* ⋅ m и т. д.). Таким образом, форма зуба остается постоянной, а абсолютные размеры определяются модулем (т.е. модуль является как бы коэффициентом пропорциональности).

По высоте зуб исходного контура делится на головку и ножку. Это деление осуществляется делительной прямой . Делительная прямая рейки – это прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины (рисунок 40б).

Высота ножки зуба несколько больше головки для обеспечения радиального зазора между вершинами зубьев одного колеса и окружностью впадин другого после сборки передачи.

Стандартные параметры исходного контура на эвольвентное колесо «переносятся» через делительную окружность (на делительной окружности шаг равен стандартному шагу исходного контура p= π ⋅ m, угол профиля равен углу профиля исходного контура α = 20 0).

Главная » Компоненты » Сопряжение эвольвенты с окружностью впадин. Большая энциклопедия нефти и газа